Sierpinski üçgeni ve Sierpinski halısı üzerindeki içsel metriklerin ve jeodeziklerin incelenmesi

Abstract

Fraktalların büyük bir kısmını oluşturan ve itere fonksiyon sistemlerinin atraktörleri olarak karşımıza çıkan kendine benzer kümeler ile içsel metrik uzaylar geometrideki çok önemli kavramlardır. Bunun yanında kendine benzer kümeler üzerindeki içsel metrik yapılar son yıllarda oldukça fazla çalışmaya konu olmuş ve uygulama alanı bulmuştur. Bu yapıların kendine has geometrisinden kaynaklanan ilginç özelliklerini incelemek için de üzerindeki içsel metriğin ifade edilmesi ve bu metriğe göre jeodeziklerinin belirlenmesi problemi güncel ve önemli bir problemdir. Kendine benzer kümeye bağlı olarak bu kümeler üzerindeki içsel metriğin ifade edilmesinin zorluğunun yanın da jeodeziklerin yapısı da değişkenlik göstermektedir. Bu kümelerden fraktal geometrinin de klasik örneklerinden sayılan Sierpinski Üçgeni, Sierpinski Halısı ve Vicsek fraktalı gibi kendine benzer kümeler üzerinde içsel metriğin farklı yollarla ifade edildiği birçok çalışma mevcuttur. Bu tez çalışmasında bu klasik örnekler üzerinde içsel metrik ve jeodezik kavramları ile ilintili olarak yapılmış çalışmalar detaylıca incelenmiş ve özetlenmiştir. Ayrıca klasik fraktallerden Sierpinski Halısı üzerindeki içsel metrik, daha önce yapılan çalışmalardan farklı olarak, kümedeki noktaların kod temsilleri yardımı ile ifade edilmiştir. Bu küme üzerindeki jeodezikler de ayrıntılı olarak belirlenmiştir.