Alexander-Conway polinomları

Abstract

Bu çalışma, iki bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, düşük boyutta en önemli funktor olan temel grup, ve inşası çalışılmıştır. Aslında temel grup, 3 ve 4 boyutlu manifoldlar ve klasik düğüm teorisi için denklik sınıflarının (homeomorfizm ve gömülme denkliği sırasıyla) belirleyicisidir. Lakin burada elde edilen gruplar, homeomorfizm probleminin neredeyse kendisi kadar zor, grup teori problemidir. Bu nedenle temel grupları ayırt edecek invaryantlar bulma zorunluluğu vardır. Bir klasik düğümün ya da teki tümleyeninin kapanışı kompakt manifold olduğu için gömülme denkliği birden topolojik denklik problemine dönüşür. Hatta klasik düğümler için tümleyenlerin denkliği düğümlerin denkliğine eşdeğerdir. Ama bu yüksek boyutta doğru değildir. Bu nedenle ikinci bölümde temel gruptan elde edilen bir düğüm invaryantından yani temel grup değişmezinden bahsedilmiştir. Lakin burada tanım oldukça değişik yollarla yapılabilir. Biz 1980'lerin başında Conway tarafından verilen Skein Teori kullanarak bu değişmezi tanımladık. Bu değişmez bir Laurent polinomudur ve Alexander polinomu olarak bilinir. Lakin Conway'in elde ettiği Skein polinomu da Alexander polinomuyla çok yakından ilgili olduğundan bu polinoma genelde Alexander - Conway polinomu denir. Son olarak, iki köprülü düğümler için bu değişmezi hesaplayıp çalışmayı bitirdik.