Kartanesi metrik uzaylarının öklidyen uzaylara kendine benzer küme olarak gömülmesi

Abstract

(X, d) bir metrik uzay, 0 < ? < 1 ve x, y ? X için d(x, y) = [d(x, y)] olmak üzere (X, d) metrik uzayına (X, d) metrik uzayının kartanesi versiyonu denir. Metrik uzayların Öklidyen bir uzaya bi-Lipschitz gömülüp gömülemeyeceği oldukça önemli bir problem olup, bu konudaki en güzel teoremlerden biri de Assouad Teoremidir. Assouad'ın 1983 yılındaki çalışmasında, (X, d) kartanesi metrik uzayının bir Öklidyen uzaya bi-Lipschitz olarak gömülebilmesi için gerek ve yeter şartın (X, d) metrik uzayının bir katlamalı metrik uzay olması gerektiğini kanıtlanmıştır. Assouad ilgili gömme dönüşümü için üç farklı metot vermiş olup, bu metodlardan birinde genelleştirilmiş Koch zincirleri olarak tanımlanan eğrileri kulanmıştır. X = [0, 1] ve d de [0, 1] üzerindeki standart metrik olmak üzere, Assouad ([0, 1], d) metrik uzayı için özel bir kanıt vermiş ve ilgili Öklidyen uzayın optimal boyutunu da hesaplamıştır. Bu tez çalışmasında temel olarak, ([0, 1], d) metrik uzayı için alternatif bir kanıt yinelemeli fonksiyon sistemleri kullanılarak verilmiştir. Bu kapsamda ilk bölümde kartanesi metrik uzayları ve Assouad Teoremi incelendikten sonra, ikinci bölümde de yinelemeli fonksiyon sistemi ve fraktal boyut kavramları tanıtılmıştır. Son bölümde de, her bir 0 < ? < 1 değeri için ([0, 1], d) metrik uzayının uygun bir yinelemeli fonksiyon sisteminin atraktörü olan (ve fraktal boyutu da 1/? olan) ve [|1/?|]+1 boyutlu Öklidyen uzayda yaşayan bir kendine benzer kümeye bi-Lipschitz olarak gömülebileceği gösterilmiştir.